Question

（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，

（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

Answer 1

解法一：过P 作PE ∥QC
则△AFP是等边三角形，
∵P 、Q 同时出发、速度相同，即BQ=AP
∴BQ=PF
∴△DBQ≌△DFP,
∴BD=DF
∵,
∴BD=DF=FA=,
∴AP=2.
解法二： ∵P 、Q 同时同速出发，
∴AQ=BQ设AP=BQ=x，则PC=6-x，QC=6+x
在Rt△QCP中，∠CQP=30°,∠C=60°
∴∠CQP=90°
∴QC=2PC,即6+x=2（6-x）
∴x=2
∴AP=2
（2）由（1 ）知BD=DF而△APF 是等边三角形，PE ⊥AF,
∵AE=EF 又DE+(BD+AE)=AB=6,
∴DE+(DF+EF)=6 ，
即DE+DE=6
∵DE=3 为定值，即DE 的长不变

Answer 2

解：(1)设AP=x
因为AP=BQ，所以BQ=x,因为角C=60度，角BQD=30度，所以角CPQ=90度，因为BC=6，所以2（6-x）=6+x
x=2
答：AP长为2.
（2）过B作BK垂直于BC于B，以B为原点，BC为x轴正方向，BK为y轴正方向，再设AP=x，算出P点坐标和Q点坐标，再算出PQ解析式和AB解析式和PE解析式，求交点得到D点和E点坐标，再求DE长度，结果是怎样就是怎样。