Question

为什么多元函数一个方向的方向导数存在不意味着其它方向的导数存在？

我要的不是反例，是造成这种情况的根本原因。
比如，我们可以举出例子来说明条件收敛级数不符合加法交换律，但是如果要说造成这个现象的根本原因，应该说是对级数进行重排后不同项之间正负抵消的状况发生了变化
常用的二元函数一般性质并不会很古怪，这些函数大部分图像是连续和光滑的，连续和光滑决定了它的图像各部分之间应该存在较强的制约，为什么会不同方向的方向导数不相干呢？

Answer 1

原因是极限的定义导致的，方向导数的存在其实
就是极限lim(f(X+tU)-f(X))/t，t->0的存在。
这里f是多元函数，X是向量，U是单位向量，t∈R，
而X+tU->X的过程只是沿着U这个方向趋近X函数的变化
和其他方向(比如-U)一般来讲是没有直接关系的
比如在平面上，趋近于一点X可以以X为起点作无数条射线
然后函数沿着各条射线趋近于X时的函数值变化是不相干的
所以这些极限就可能完全不同或者存在与否都没有关系
更直观的比如在直线上，在方向x->0+的函数极限和
方向x->0-的函数极限是完全可以不相干的，这取决于
函数自身情况，但一般来讲这两个极限值是没有直接关系的
∴一个方向上的方向导数情况就只是该方向上的函数值变化情况
和其他方向上的函数值变化情况没有关系，也就是和其他方向的
方向导数情况无关。

追问

我想问的就是为什么会不相干，常用的二元函数一般性质并不会很古怪，这些函数大部分图像是连续和光滑的，连续和光滑决定了它的图像各部分之间应该存在较强的制约，为什么会不相干呢？

追答

那你说的是光滑函数，当然这一类大部分函数性质都很好，
基本上各个方向的导数都存在，而起也是连续的，
函数也可微，但是函数不止这一类，还有很多不那么
光滑的函数，它们的性质就没那么好了，从定义的考虑当然
是要顾及所有的函数，需要严谨和准确
另外就是如果您只考虑常见的那些光滑函数，他们处处是
可微连续的，方向导数也都是存在且相等的，也不会有您
提出的疑问。但是各个方向导数的存在，也不是它们之间
有什么关系，而是光滑性保证的，相当于条件已经限制要求
这一类函数各个方向导数存在且相等了

Answer 2

易知二元函数的代表的是一个曲面。曲面上一点的各个方向在z方向的变化趋势是不同。即导数也是不同的，也可能导数不存在。像椭球面他的各个方向的导数都是存在的。连续和光滑说明的是函数的图形的性质。如果函数图像时连续光滑的，那么各个方向的导数是存在的。但有些函数的图像是不光滑的，某些方向的导数是不存在的。
而二元函数一个方向的方向导数存在不意味着其它方向的导数存在，说明这两者不等价。其他方向的导数存不存在不是由一个方向的导数决定的。