Question

线性代数题目！不会做 ， 求帮忙解答。

Answer 1

增广矩阵 (A,b) =
[1 1 1 1 0]
[0 1 2 2 1]
[0 -1 2 2 b]
[3 2 1 a -1]
行初等变换为
[1 1 1 1 0]
[0 1 2 2 1]
[0 -1 2 2 b]
[0 -1 -2 a-3 -1]
行初等变换为
[1 1 1 1 0]
[0 1 2 2 1]
[0 0 4 4 b+1]
[0 0 0 a-1 0]
(1) 当 a≠1 时，|A| ≠0， 方程组有唯一解。
(2) 方程组总是有解。
(3) 当 a=1 时，r(A)=r(A,b)=3<4， 方程组有无穷多解。
此时进一步行初等变换为
[1 1 0 0 -(b+1)/4]
[0 1 0 0 (1-b)/2]
[0 0 1 1 (b+1)/4]
[0 0 0 0 0]
行初等变换为
[1 0 0 0 (b-3)/4]
[0 1 0 0 (1-b)/2]
[0 0 1 1 (b+1)/4]
[0 0 0 0 0]
即得
x1=(b-3)/4
x2=(1-b)/2
x3=(b+1)/4-x4
则特解是 ((b-3)/4, (1-b)/2, (b+1)/4, 0 )^T
导出组的基础解系是 (0, 0, 1, -1)^T
方程组的通解是
x=k(0, 0, 1, -1)^T+ ((b-3)/4, (1-b)/2, (b+1)/4, 0 )^T，
其中 k 为任意常数。