Question

已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数，当x属于【0,1】时，f(x)=x^2,

若在区间【-1,3】内，函数g(x)=f(x)-kx-k有四个零点，则实数k的取值范围

Answer 1

实数k的范围（0,1/4）
过程如下
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f(x+1)=f(x-1)
∴f(x)=f(x+2)
周期是2
f(x)是偶函数
x∈[0,1]时
f(x)=x
∴x∈[-1.0)时
f(x)=-x（关于y轴对称）
周期是2
∴x∈[1,2]时
y=-x+2
x∈[2,3]时
y=x-2
区间[-1,3]上函数y=f(x)-kx-k有4个零点
f(x)=k(x+1)
g(x)=k(x+1)恒过(-1,0)与f(x)有4个交点
如图此时有3个交点
∴g(x)在这条直线下面
此时斜率=1/(3+1)=1/4
∴0<k<1/4

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追问

K能做到等于1/4吗？

Answer 2

f(x)满足f(x+1)=-f(x)，

f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x)，

这表明2是f(x)的一个周期。

当x∈[-1,0]时，则-x∈[0,1]，

又当x∈[0,1]时，f(x)=x^2,

f(-x)=(-x)^2=x^2,

又f(x)是偶函数

f(x) =f(-x) =x^2,

f(x) 区间[-1,3]的图象如图

在区间[-1,3]内，函数g(x)=f(x)-kx-k有四个零点，

等价于在区间[-1,3]内，曲线y=f(x)与动直线y=k(x+1) 有四个交点。

当直线y=k(x+1)过点（3,1）时，k=1/4.

所以0<k≤1/4.