Question

求证(1+1/n)^n<3 (n=1,2,3...)

如题，感谢！

Answer 1

首先，设f(x)=(1+1/x)^x。

证明函数f(x)=(1+x)^x在（0，+∞）为增函数。

f(x)=(1+1/x)^x的定义域为（-∞,-1）∪(0,+∞)

当x∈（-∞,-1）时，g"(x)>0；当x∈（0,+∞)时g"(x)<0。

∴g'(x)在（-∞,-1）上单调递增，在（0,+∞)上单调递减。

∵lim(x→-∞)g'(x)=0,lim(x→+∞)g'(x)=0,∴g'(x)>0。

∴g(x)在（-∞,-1）∪（0,+∞)上单调递增。

不妨设x1、x2∈（-∞,-1）∪（0,+∞)且x1<x2。

则g(x1)<g(x2)。

∵y=e^x在（-∞，+∞)上为增函数。

∴e^(g(x1))<e^(g(x2))。

即f(x1)<f(x2)。

∴f(x)在（-∞,-1）∪（0,+∞)上单调递增有定理证明数列与对应函数单调性相同。

故数列(1+1/n)^n (n>1,且为整数)单调递增。

n趋向无穷时原式趋向e小于3，由单调性可知原不等式成立。

性质1

等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立。

若a=b

那么a+c=b+c

性质2

等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。

若a=b

那么有a·c=b·c

或a÷c=b÷c （c≠0）

Answer 2

设Xn=（1+1/n)^n
应用二项式定理展开得
Xn=1+n*1/n+n(n-1)/2! *1/n^2+n(n-1)(n-2)/3! *1/n^3+...+n(n-1)...3*2*1/n! *1/n^n=1+1+1/2! *(1-1/n)+1/3! *(1-1/n)(1-2/n)+...+1/n! (1-1/n)(1-2/n)...[1-(n-1)/n]<1+1+1/2!+1/3!+...1/n!<1+1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]=1+1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/(n-1)-1/n]=3-1/n<3

Answer 3

首先，设f(x)=(1+1/x)^x,
证明函数f(x)=(1+x)^x在（0，+∞）为增函数
f(x)=(1+1/x)^x的定义域为（-∞,-1）∪(0,+∞)
令g(x)=xln(1+1/x),则g'(x)=1n(1+1/x)-1/(x+1),
g"(x)=-1/(x²+1)+1/(x+1)²=-2x/((x²+1)·(x+1)²)
当x∈（-∞,-1）时，g"(x)>0；当x∈（0,+∞)时g"(x)<0
∴g'(x)在（-∞,-1）上单调递增，在（0,+∞)上单调递减
∵lim(x→-∞)g'(x)=0,lim(x→+∞)g'(x)=0,∴g'(x)>0
∴g(x)在（-∞,-1）∪（0,+∞)上单调递增
不妨设x1、x2∈（-∞,-1）∪（0,+∞)且x1<x2
则g(x1)<g(x2)
∵y=e^x在（-∞，+∞)上为增函数
∴e^(g(x1))<e^(g(x2))
即f(x1)<f(x2)
∴f(x)在（-∞,-1）∪（0,+∞)上单调递增有定理证明数列与对应函数单调性相同
故数列(1+1/n)^n (n>1,且为整数)单调递增。
n趋向无穷时原式趋向e小于3,由单调性可知原不等式成立