Question

一道求质心的高数题,求详解

位于

和

之间均匀薄片的质心为？

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

Answer 1

薄片面积A=∫∫dxdy=4π-π=3π
B=∫∫ydxdy=∫(0->π)dθ ∫(2sinθ->4sinθ) r^2sinθ dr=7π
所以质心的纵坐标y0=B/A=7/3
由于对称性x0=0
所以质心M(0,7/3)

追问

均匀薄片的密度是1吗？
薄片面积为什么儿是A=∫∫dxdy=4π-π=3π？不知道x，y区间啊

还有第二行，θ的范围为啥是(0->π)y为什么变成r^2sinθ ？

抱歉，我只看了书，不太会做题

追答

那个极坐标方程化成直线坐标就是x^2+y^2=2x和x^2+y^2=4x，分别是半径为1和2的两个圆。

薄片是由小圆和大圆所夹的范围，所以面积是二者之差。
因为两个圆都与x轴相切，所以积分范围是0到π。

y=rsinθ，但是直线坐标变成极坐标还要乘以r.

满意请采纳，亲。。

追问

我觉得积分范围应该是-π/2到π/2吧，我试了试算出来是7π

因为x^2+y^2=2x和x^2+y^2=4x，即x=ρsinθ，所以

如果x=ρcosθ，极坐标方程化成直线坐标为x^2+y^2=2y和x^2+y^2=4y的话，

θ的范围就是(0->π)，这样算出来的仍然是B=7π

小细节。