Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）令ω=1，判断函数y=f（x）+f（x+π/2）的奇偶性，并说明

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）令ω=1，判断函数y=f（x）+f（x+π/2）的奇偶性，并说明理由；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移π/6 单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象， ①求y=g（x）在区间[a，a+8π]上零点个数的所有可能值
②若区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值

Answer 1

（1）解析：∵f(x)=2sin(wx),(w>0)

∴f(x)初相为零，∴其图像离Y轴最近最大值点和最小值点关于原点对称

∵在区间[-π/4, 2π/3]上f(x)单调增

最大值点：wx=2kπ+π/2==> x=2kπ/w+π/(2w)

只须，π/(2w)>=2π/3==>w<=3/4

∴0<w<=3/4

(2)解析：令w=2

由题意g(x)=f(x+π/6)+1=2sin(2x+π/3)+1

∵在区间[a,b]（a<b）上

∵在正弦函数一个完整周期内有二个零点

要在区间[a,b]上，g(x)图像至少有30个零点

则在至少要包含30/2个周期T

∵g(x)=2sin(2x+π/3)+1=0

==>2x+π/3=2kπ-π/6==>x=kπ-π/4，（k∈Z）

==>2x+π/3=2kπ-5π/6==>x=kπ-7π/12

g(x)Y轴左侧第一个零点-π/4，是第二个零点是-7π/12

∴一个完整周期内有二个零点，间距π/3，第二个零点到下一周期第一个零点间距是2π/3

∴b-a的最小值为(30/2)*π/3+(30-2)/2*2π/3=43π/3

 

以下如图示在E,F点之间含4个零点

                          

F-E=(4/2)*π/3+(4-2)/2*2π/3=4π/3

Answer 2

（1）f(x)=2sin(x),f(x+π/2)=2sin(x+π/2)=2cos(x),y=p(x)=f(x)+f(x+π/2)=2sin(x)+2cos(x)，
p(-x)=-2sin(x)+2cos(x),-p(x)=-2sin(x)-2cos(x),p(-x)≠p(x)≠-p(x)，因此不存在奇偶性