Question

绝对值不等式

|a-b|≤|a|+|b|

Answer 1

解绝对值不等式分情况讨论的目的就是去掉绝对值符号
只有一个绝对值时，比如：
| x-2 | > 4
那么我们要去绝对值符号，就要讨论 x-2 是正是负，讨论x - 2 的正负 即讨论 x 与 2 的大小关系
所以 (1)x < 2 时，原式为 2 - x > 4 解得x < -2 （x<2即是x-2<0）
(2)x ≥2 时，原式为 x - 2 > 4 解得 x > 6 （x ≥2 即是x-2≥0）
所以不等式解为 x < -2或 x > 6

当有2个绝对值时，比如：
| x - 3| + | 2x + 4| > 6
那么我们要去绝对值符号，就要讨论 x-3 和 2x + 4 是正是负，讨论 x-3 和 2x + 4 的正负，即讨论x 与3 、-2的大小关系 （x-3=0得到3，2x-4=0得到-2）
(1) x < -2时，……（x<-2,即 x-3 <0 , 2x + 4<0）
(2)-2 ≤ x ≤ 3时，……（-2 ≤ x ≤ 3，即x-3≥0 ，2x-4≤0）
(3) x > 3时，……（ x > 3，即x-3>0，2x-4>0）
更多的绝对值也一样，找到所有断点（使绝对值内的式子为0的点，x-3=0的3，2x-4=0的-2……）
然后谈论x与他们的关系（可以看成在数轴上列出这些点，x不断向右移动）
比如断点 x1、x2、x3、x4……
谈论：
(1) x < x1时
(2)x1≤x<x2时
(3)x2≤x<x3时
(4)x3≤x<x4时
……
断点处的等号比较随意，只要考虑到就行
就像上面讨论也可以是
(1) x ≤ x1时
(2)x1<x≤x2时
(3)x2<x≤x3时
(4)x3<x≤x4时
甚至
(1) x ≤ x1时
(2)x1<x<x2时
(3)x2≤x≤x3时
(4)x3<x<x4时
都没关系，只要讨论了x=x1、x2、x3、x4……的情况就行
希望对你能有所帮助。

Answer 2

(|a|+|b|)²=a²+b²+2|a||b|=a²+b²+2|ab|

(|a-b|)²=(a-b)²=a²+b²-2ab

因为：2|ab|≥-2ab，当且仅当ab≤0时取等号

所以：(|a-b|)²≤(|a|+|b|)²

因为：|a|+|b|≥0 |a-b|≥0

即证：|a-b|≤|a|+|b|