Question

高中数学题 在三角形ABC中,a,b,c分别代表三个内角A,B,C的对边,

在三角形ABC中,a,b,c分别代表三个内角A,B,C的对边,如果(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)判断三角形的形状 过程要详细 不要复制的

Answer 1

【参考答案】该三角形是Rt三角形

须知：
sin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβ
sin(2α)=2sinα•cosα
△ABC中，a/sinA=b/sinB，即a/b=sinA/sinB，asinB=bsinA

证明：
（a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)
(a²+b²)（sinAcosB-sinBcosA)=(a²-b²)(sinAcosB+sinBcocA)
化简得 a²sinBcosA=b²sinAcosB

因为 asinB=bsinA
所以 acosA=bcosB
所以 a/b=cosB/cosA
所以 sinA/sinB=cosB/cosA
所以 sinAcosA=sinBcosB

所以 2sinAcosA=2sinBcosB
所以 sin(2A)=sin(2B)
因为0<2A<2π，0<2B<2π，A≠B
所以 2A+2B=π
即 A+B=π/2

所以△ABC是直角三角形

追问

为什么因为 asinB=bsinA
所以 acosA=bcosB
所以 a/b=cosB/cosA
所以 sinA/sinB=cosB/cosA
所以 sinAcosA=sinBcosB

追答

化简得 化简得 （a^2）sinBcosA=(b^2)sinAcosB
即(asinB)(acosA)=(bsinA)(bcosB)

因为 asinB=bsinA
所以 acosA=bcosB

追问

为什么 a/b=cosB/cosA
所以 sinA/sinB=cosB/cosA

追答

△ABC中，a/sinA=b/sinB，即a/b=sinA/sinB，①
因为 asinB=bsinA
所以 acosA=bcosB
所以 a/b=cosB/cosA ②
①②联立可得结论

Answer 2

sin（a-b）=sinacosb-cosasinb，sin (a+b)=sina cosb+sinb cosa，这个没有问题吧。
带入得到(a²+b²)（sinacosb-cosasinb）=(a²-b²)（sina cosb+sinb cosa）
令sinacosb=m，sinb cosa=n，得到(a²+b²)（m-n）=(a²-b²)（m+n）
展开得到ma²-na²+mb²-nb²=ma²+na²-mb²-nb²
得到2mb²=2na² 就是sinacosb b²=sinb cosa a² 搞错角度字母 了，不影响 sinAcosBb²=sinBcosAa²
正弦定理bsinA=asinB，两边同事除得到bcosB=acosA再两边除一次（目的是消掉两边的边长a,b）
得到cosB/sinA=cosA/sinB,就是sinAcosA=sinBcosB，两边同时乘以2，2sinAcosA=2sinBcosB
利用2倍角公式sin2A=cos2B，
2A=2B 或者 2A=180°-2B
∴ A=B或者A+B=90°
∴ △ABC是等腰三角形或者直角三角形