Question

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b 2 +c 2 ）+b（a 2 +c 2 ）+c（a 2 +b 2 ）＞6abc

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b 2 +c 2 ）+b（a 2 +c 2 ）+c（a 2 +b 2 ）＞6abc．

Answer 1

证明：∵b 2 +c 2 ≥2bc，a＞0， ∴a（b 2 +c 2 ）≥2abc             ①…（5分） 同理 b（c 2 +a 2 ）≥2abc          ② c（a 2 +b 2 ）≥2abc               ③…（9分） 因为a，b，c不全相等，所以b 2 +c 2 ≥2bc，c 2 +a 2 ≥2ca，a 2 +b 2 ≥2ab三式不能全取“=”号， 从而①、②、③三式也不能全取“=”号 ∴三式相加可得：a（b 2 +c 2 ）+b（c 2 +a 2 ）+c（a 2 +b 2 ）＞6abc…（14分）