Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= 1 18 x 2 - 4 9 x-10与y轴的交点为点B，

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= 1 18 x 2 - 4 9 x-10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE ∥ OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当0＜t＜ 9 2 时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值， 若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

Answer 1

（1）y= 1 18 （x 2 -8x-180）， 令y=0，得x 2 -8x-180=0， 即（x-18）（x+10）=0， ∴x=18或x=-10． ∴A（18，0） 在y= 1 18 x 2 - 4 9 x-10中，令x=0得y=-10， 即B（0，-10）． 由于BC ∥ OA， 故点C的纵坐标为-10， 由-10= 1 18 x 2 - 4 9 x-10得， x=8或x=0， 即C（8，-10）且易求出顶点坐标为（4， - 98 9 ）， 于是，A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），顶点坐标为（4， - 98 9 ）； （2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC ∥ PA． 故只要QC=PA即可， 而PA=18-4t，CQ=t， 故18-4t=t得t= 18 5 ； （3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0＜t＜4.5， 说明P在线段OA上，且不与点OA、重合， 由于QC ∥ OP知△QDC ∽ △PDO，故 QD DP = QC OP = t 4t = 1 4 ∵△AEF ∽ △CEQ， ∴AF：CQ=AE：EC=DP：QD=4：1， ∴AF=4t=OP ∴PF=PA+AF=PA+OP=18 又∵点Q到直线PF的距离d=10， ∴S △PQF = 1 2 PF?d= 1 2 ×18×10=90， 于是△PQF的面积总为90； （4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）． ∴PQ 2 =（4t-8+t） 2 +10 2 =（5t-8） 2 +100 FQ 2 =（18+4t-8+t） 2 +10 2 =（5t+10） 2 +100． ①若FP=FQ，则18 2 =（5t+10） 2 +100． 即25（t+2） 2 =224，（t+2） 2 = 224 25 ． ∵0≤t≤4.5， ∴2≤t+2≤6.5， ∴t+2= 224 25 = 4 14 5 ． ∴t= 4 14 5 -2， ②若QP=QF，则（5t-8） 2 +100=（5t+10） 2 +100． 即（5t-8） 2 =（5t+10） 2 ，无0≤t≤4.5的t满足． ③若PQ=PF，则（5t-8） 2 +100=18 2 ． 即（5t-8） 2 =224，由于 224 ≈15，又0≤5t≤22.5， ∴-8≤5t-8≤14.5，而14.5 2 =（ 29 2 ） 2 = 841 4 ＜224． 故无0≤t≤4.5的t满足此方程． 注：也可解出t= 8-4 14 5 ＜0或t= 8+4 14 5 ＞4.5均不合题意， 故无0≤t≤4.5的t满足此方程． 综上所述，当t= 4 14 5 -2时，△PQF为等腰三角形．