Question

如图，PA切⊙O于A，PBC过圆心O，交⊙O于B、C，CD⊥PA于D，交⊙O于点E．（1）求证：CA平分∠BCD．（2）若D

如图，PA切⊙O于A，PBC过圆心O，交⊙O于B、C，CD⊥PA于D，交⊙O于点E．（1）求证：CA平分∠BCD．（2）若DC=6，AC=4 3 ，求⊙O的半径．（3）作AG⊥BC于G，连接AB、DG，判断AB与DG的位置关系，并证明．

Answer 1

（1）证明：连接OA， ∵PD切⊙O于A， ∴OA⊥PD， ∵CD⊥PD， ∴∠PAO=∠PDC=90°， ∴OA ∥ CD， ∴∠OAC=∠ACD， 在⊙O中，OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠ACD=∠OCA， ∴CA平分∠BCD；                       （2）连接BA， 在⊙O中，BC为直径， ∴∠BAC=90°， ∴∠BAC=∠PDC， ∵∠ACO=∠ACD， ∴△BCA ∽ △ACD， ∴ AC CD = BC AC ， ∴AC 2 =BC?DC，即（4 3 ） 2 =6BC， ∴BC=8， ∴⊙O的半径为4；                        （3）AB ∥ DG，理由为： 证明：∵AG⊥BC， ∴∠AGC=∠ADC=90°， 在△ACG和△ACD中， ∠AGC=∠ADC=90° ∠ACO=∠ACD AC=AC ， ∴△ACG≌△ACD（AAS）， ∴AG=AD，∠GAC=∠DAC， ∴AC⊥GD， ∵BA⊥AC， ∴∠BAC=∠GMC=90°， ∴AB ∥ DG．