Question

如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，OA：OB=12．以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BA

如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，OA：OB=12．以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．（1）求点A的坐标和k的值；（2）求点C坐标；（3）直线y=12x在第一象限内的图象上是否存在点P，使得△ABP的面积与△ABC的面积相等？如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）对于直线y=kx+2，令x=0，得到y=2，即B（0，2），OB=2，
∵OA：OB=

1

2

，∴OA=1，即A（-1，0），
将x=-1，y=0代入直线解析式得：0=-k+2，即k=2；

（2）过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，

∠AMC＝∠BOA＝90° ∠ACM＝∠BAO AC＝BA

，
∴△CAM≌△ABO（AAS），
∴AM=OB=2，CM=OA=1，即OM=OA+AM=1+2=3，
∴C（-3，1）；

（3）假设存在点P使得△ABP的面积与△ABC的面积相等，在直线y=

1

2

x第一象限上取一点P，连接BP，AP，
设点P（m，

1

2

m），
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△BPO-S_△AOP=1+m-

1

4

m=1+

3

4

m，而S_△ABC=

1

2

AB?AC=

1

2

AB²=

1

2

（1²+2²）=

5

2

，
可得1+

3

4

m=

5

2

，
解得：m=2，
则P坐标为（2，1）．