Question

如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝6，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，点O为AC的中点，AD=1，CD=3，PD

如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝6，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，点O为AC的中点，AD=1，CD=3，PD＝3．（1）求证：BO⊥平面PAC（2）证明：△PBC为直角三角形；（3）求直线AP与平面PBC所成角的余弦值．

Answer 1

解：法一：（1）证明：∵AB=BC，点O为AC的中点，∴BO⊥AC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO?平面ABC，
∴BO⊥平面PAC；
（2）证明：在Rt△BOC中，OC＝

AC

2

＝2，BO＝

BC2?OC2

＝

2

同理DO＝1，BD＝

DO2+BO2

＝

3

，PC＝

PD2+DC2

＝2

3

∵PD⊥AC于点D，同（1）的证明可得到PD⊥平面ABC，
∵BD?平面ABC，∴PD⊥BD
在Rt△PBD中，PD＝

3

，PB＝

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