Question

（本题满分8分．老教材试题第1小题4分，第2小题4分；新教材试题第1小题3分，第2小题5分．）

（本题满分8分．老教材试题第1小题4分，第2小题4分；新教材试题第1小题3分，第2小题5分．） （老教材）设a为实数，方程2x 2 -8x+a+1=0的一个虚根的模是 5 ．（1）求a的值；（2）在复数范围内求方程的解． （新教材）设函数f（x）=2 x +p，（p为常数且p∈R）（1）若f（3）=5，求f（x）的解析式；（2）在满足（1）的条件下，解方程：f -1 （x）=2+log 2 x 2 ．

Answer 1

（老教材）（1）设方程2x 2 -8x+a+1=0的两个虚根为z 1 ，z 2 由于该方程为实系数方程，所以方程两根必为共轭虚根，即 z 1 = . z 2 又 | z 1 | 2 = z 1 ? . z 1 = z 1 ? z 2 = a+1 2 =5 ?a=9． （2）由（1）得方程2x 2 -8x+10=0，即x 2 -4x+5=0 解得z 1 =2+i，z 2 =2-i． （新教材）（1）据题意f（3）=5代入f（x）=2 x +p，得2 3 +p=5?p=-3，所以f（x）=2 x -3． （2）由2 x =y+3，得x=log 2 （y+3） 所以f -1 （x）=log 2 （x+3），x∈（-3，0）∪（0，+∞）． 故方程即为log 2 （x+3）=2+log 2 x 2 ，?log 2 （x+3）=log 2 （4x 2 ）?4x 2 -x-3=0，解得 x=1，x=- 3 4 ． 由于，经检验 x 1 =1， x 2 =- 3 4 都为原方程的根．