Question

（本小题满分15分）（文）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC， BAD= ，PA⊥底面ABCD，且

（本小题满分15分）（文）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC， BAD= ，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点. （Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ） 求CD与平面ADMN所成角的余弦

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Answer 1

解：方法一： （Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB， 所以AN⊥PB。 因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB， 从而PB⊥平面ADMN， 因为DM 平面ADMN， 所以PB⊥DM。 （Ⅱ）取AD的中点G，连结BG、NG， 则BG//CD， 所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN 所成的角相等。 因为PB⊥平面ADMN， 所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角。 在Rt△BGN中， sin∠BGN= = 。 故CD与平面ADMN所成的角是arcsin 。 方法二： 如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设BC=1，则 A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1， ，1），D（0，2，0）。 （Ⅰ）  因为 =0，所以PB⊥DM。 （Ⅱ）   因为   =0， 所以PB⊥AD， 又因为PB⊥DM， 所以PB⊥平面ADMN。 因此 的余角即是CD与平面ADMN所成的角 因为   =  ， 所以CD与平面ADMN所成的角为arcsin .

略