Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB ∥ 平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；（3）证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．

Answer 1

（1）证明：E，G分别是PC，BC的中点得EG ∥ PB， ∵EG?平面PAB，PB ∥ 平面PAB ∴EG ∥ 平面PAB 又E，F分别是PC，PD的中点， ∴EF ∥ CD，又AB ∥ CD ∴EF ∥ AB ∵EF?平面PAB，AB?平面PAB ∴EF ∥ 平面PAB， 又∵EG，EF?平面EFG，EG∩EF=E， ∴平面PAB ∥ 平面EFG． （2）Q为PB的中点，连QE，DE，又E是PC的中点， ∴QE ∥ BC，又BC ∥ AD，∴QE ∥ AD ∴平面ADQ，即平面ADEQ， ∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD ∴PD⊥DC，又PD=AB=2，ABCD是正方形， ∴等腰直角三角形PDC 由E为PC的中点知DE⊥PC． ∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD ∴PD⊥AD， 又AD⊥DC，PD∩CD=D， ∴AD⊥面PDC． ∵PC?面PDC ∴AD⊥PC，且AD∩DE=D． ∴PC⊥平面ADEQ， 即PC⊥平面ADQ 由于EQ ∥ BC ∥ AD， ∴ADEQ为平面四边形， 由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD， 又AD⊥CD，PD∩CD=D， ∴AD⊥平面PDC， ∵PC?平面PDC， ∴AD⊥PC， 又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点， ∴DE⊥PC，AD∩DE=D， ∴PC⊥平面ADQ． （2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D， ∴CD⊥平面PAD， 又EF ∥ CD， ∴EF⊥平面PAD， ∵EF?平面EFG， ∴平面EFG⊥平面PAD． 取AD中点H，连接FH，GH， 则HG ∥ CD ∥ EF，平面EFGH即为平面EFG， 在平面PAD内，作DO⊥FH，垂足为O， 则DO⊥平面EFGH， DO即为D到平面EFG的距离， 在三角形PAD中，H，F为AD，PD中点， ∴DO=FDsin45°= 2 2 ． 即D到平面EFG的距离为 2 2 ．