如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．（I）求证：平面PBE⊥平面PBD；（II）若二
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．（I）求证：平面PBE⊥平面PBD；（II）若二面角P-AB-D为45°，求直线PA与平面P...
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．（I）求证：平面PBE⊥平面PBD；（II）若二面角P-AB-D为45°，求直线PA与平面PBE所成角的正弦值．
展开
展开全部
（I）连接AC交BD于点F，取PB的中点N，连接EN，FN．
∵FBD为的中点，∴NF∥PD，NF=
PD
又EC∥PD，EC=
PD
∴四边形NFCE为平行四边形
∴NE∥FC
∵DB⊥AC，PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥PBD，即FC⊥面PBD
∴NE⊥面PBD．
（Ⅱ）∵AD⊥AB，PD⊥面ABCD，∴PD⊥AB，∴AB⊥面PAD
∴AB⊥PA．∴∠PAD为二面角P-AB-D 的平面角．．∴∠PAD=45°
设PD=AD=1，
取BC中点G，连接EG，可证 EG∥PA，∴直线EG与平面PBE所成角等于直线PA与平面PBE所成角．
设G到面PBE的距离为h，由V G-PBE=V P-EGB，得
h?S△PBE=
CD?S△EGB，CD=1 S△EGB=
，S△PBE=
，∴h=
，EG=
，
设直线EG与平面PBE所成角等于 θ，则sinθ=
=
，∴直线PA与平面PBE所成角的正弦值为
∵FBD为的中点，∴NF∥PD，NF=
| 1 |
| 2 |
又EC∥PD，EC=
| 1 |
| 2 |
∴四边形NFCE为平行四边形
∴NE∥FC
∵DB⊥AC，PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD，
又PD∩BD=D，∴AC⊥PBD，即FC⊥面PBD
∴NE⊥面PBD．
（Ⅱ）∵AD⊥AB，PD⊥面ABCD，∴PD⊥AB，∴AB⊥面PAD
∴AB⊥PA．∴∠PAD为二面角P-AB-D 的平面角．．∴∠PAD=45°
设PD=AD=1，
取BC中点G，连接EG，可证 EG∥PA，∴直线EG与平面PBE所成角等于直线PA与平面PBE所成角．
设G到面PBE的距离为h，由V G-PBE=V P-EGB，得
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 8 |
| ||
| 4 |
| 1 | ||
2
|
| ||
| 2 |
设直线EG与平面PBE所成角等于 θ，则sinθ=
| h |
| EG |
| ||
| 6 |
|
