Question

（2013?天桥区一模）如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同

（2013?天桥区一模）如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）设△AQP的面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知：BP=2t，AP=10-2t，AQ=2t，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AQ

AC

，
∴

10?2t

10

=

2t

8

，
t=

20

9

，
即当t为

20

9

s时，PQ∥BC；

（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
过P作PD⊥AC于D，
则PD∥BC，
∴△APD∽△ABC，
∴

AP

AB

=

PD

BC

，
∴

10?2t

10

=

PD

6

，
PD=

3

5

（10-2t），
∴S=

1

2

AQ?PD=

1

2

?2t?

3

5

（10-2t）=-

6

5

t²+6t=-

6

5

（t-

5

2

）²+7.5，
∵-

6

5

＜0，开口向下，有最大值，
当t=

5

2

秒时，S的最大值是7.5cm²．

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则S_△APQ=

1

2

S_△ABC
即-

6

5

t²+6t=

1

2

×

1

2

×8×6
t²-5t+10=0，
∵△=5²-4×1×10=-15＜0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．