Question

已知数列{an}是首项a1＞1，公比q＞0的等比数列．设bn=log2an（n∈N*），且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．（Ⅰ）

已知数列{an}是首项a1＞1，公比q＞0的等比数列．设bn=log2an（n∈N*），且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Sn，求当S11+S22+…+Snn最大时n的值．

Answer 1

（Ⅰ）b₁+b₃+b₅=log₂（a₁a₃a₅）=log2(a13q6)=6?a13q⁶=2⁶?a₁q²=4，
∵a₁＞1，∴b₁=log₂a₁≠0，
又b₁b₃b₅=0，若b₃=0，则log₂a₃=log2(a1q2)=0，即a₁q²=0，这与a₁q²=4矛盾，
故b₅=log2(a1q4)=0?a₁q⁴=1．
∴q²=

1

4

，q=

1

2

，a₁=16．
∴a_n=16?(

1

2

)n?1=2^5-n．
（Ⅱ）∵b_n=log₂a_n=log225?n=5-n，∴{b_n}是首项为4，公差为-1的等差数列，
∴S_n=

9n?n2

2

，

Sn

n

=

9?n

2

．
故{

Sn

n

}是首项为4，公差为-

1

2

的等差数列．∵n≤8时，

Sn

n

＞0；
n=9时，

Sn

n

=0； n＞9时，

Sn

n

＜0．故当n=8或n=9时，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大．