Question

观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离：4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，回答问题：（1）所得距离与这两

观察题中每对数在数轴上的对应点间的距离：4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，回答问题：（1）所得距离与这两个数的差的绝对值的关系是______；（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1则A与B两点间的距离可以表示为______；（3）结合数轴可得|x-2|+|x+3|的最小值为______；（4）若关于x的方程|x-1|+|x+1|+|x-5|=a无解，则a的取值范围是______．

Answer 1

（1）由观察可知：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；
（2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．

当x＜-1时，距离为-x-1，

当-1＜x＜0时，距离为x+1，

当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
（3）当x＜-3时，|x-2|+|x+3|=2-x-（3+x）=-2x-1，此时最小值大于5；
当-3≤x≤2时，|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5；
当x＞2时，|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1，此时最小值大于5；
所以|x-2|+|x+3|的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2；
（4）先求f（x）=|x-1|+|x+1|+|x-5|的值域：
当x≥5时，f（x）=x-1+x+1+x-5=3x-5≥10，
当1≤x＜5时，f（x）=x-1+x+1+5-x=x+5，此时值域为[6，10），
当-1≤x＜1时，f（x）=1-x+x+1+5-x=7-x，此时值域为（6，8]，
当x＜-1时，f（x）=1-x-x-1+5-x=5-3x＞8，此时值域为（8，+∞），
所以f（x）的值域为：f（x）≥6．
即：|x-1|+|x+1|+|x-5|≥6，
因为|x-1|+|x+1|+|x-5|=a无解，
所以a＜6．
故答案为：（1）相等；（2）|x+1|；（3）5；（4）a＜6．