Question

在正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上的一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图（1），当点P与点

在正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上的一动点，过点P作PF⊥CD于点F，如图（1），当点P与点O重合时，显然有DF=CF．如图（2），若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E，（1）求证：DF=EF；（2）求证：PC?PA＝2CE．

Answer 1

解答：证明：如图①连接PD，∵四边形ABCD是正方形，
AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∵∠PEC+∠PED=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PED=∠PBC=∠PDC，
∴PD=PE，
∵PF⊥CD，
∴DF=EF．

（2）如图②，过点P作PH⊥AD于点H，
由（1）知：PA=

2

PH=

2

DF=

2

EF
PC=

2

CF
∴PC-PA=

2

（CF-EF），
即PC-PA=

2

CE．