Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O中作内接矩形AMPN．令AM=x． （1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

（1） （2）当 时，⊙O与直线BC相切 （3）8

解：（1）∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC． ∴ ， 即 ． ∴ AN＝ x．  ∴ ．……………………………… 2分 （2）如图2，作OD⊥BC于点D，当OD = MN时，⊙O与直线BC相切． 在Rt△ABC中，BC = =10． 由（1）知 △AMN ∽△ABC． ∴ ，即 ． ∴ MN= ． 过M点作ME⊥BC 于点E， ∵sinB= ，∴ ． ∴ ． ∴ ，解得 ． ∴当 时，⊙O与直线BC相切．   ………………… 4分 （3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，如图3，连结AP，则O点为AP的中点． ∵ MN∥BC， ∴ ，即 AM=MB=4． 故分以下两种情况讨论： ①当0＜ ≤4时， ． ∴ 当 =4时， ．……………… 5分 ②当4＜ ＜8时，如图4，设PM、PN分别交BC于E、F． ∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN=AM=x． 又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN=BM=8－x． ∴PF="PN–FN" =" x" -(8 - x) =" 2x" -8． 又△PEF∽△ACB，∴ ． ∴ ． ∴ ＝ ． ∵ 二次项系数 ，且当 时，满足4＜ ＜8， ∴  ．…………………………………………………………………………… 6分 综上所述，当 时， 值最大，最大值是8． …………………… 7分