Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（Ⅰ）若xf′（x）≤x 2 +ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x-1）f（

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．（Ⅰ）若xf′（x）≤x 2 +ax+1，求a的取值范围；（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞） 求导函数，可得 f′(x)= x+1 x +lnx-1=lnx+ 1 x ，…（2分） ∴xf′（x）=xlnx+1， 题设xf′（x）≤x 2 +ax+1等价于lnx-x≤a， 令g（x）=lnx-x，则g′（x）= 1 x -1 ．…（4分） 当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x≥1时，g′（x）≤0， ∴x=1是g（x）的最大值点， ∴g（x）≤g（1）=-1．…（6分） 综上，a的取值范围是[-1，+∞）．…（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0； 当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；…（10分） 当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x（lnx+ 1 x -1）≥0 所以（x-1）f（x）≥0…（13分）