Question

已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F．（1）求

已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F．（1）求证：△ADF∽△BDE；（2）求证：△DEF∽△ABC．

Answer 1

证明：（1）∵∠BAC=90°，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF为矩形，
∴AF=EP，
∵∠EBP=∠DBA，
∴Rt△BEP∽Rt△BDA，
∴

EP

AD

=

BE

BD

，
∴

AF

AD

=

BE

BD

，即

AF

BE

=

AD

BD

，
∵∠DAF+∠BAD=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠DAF=∠B，
∴△ADF∽△BDE；
（2）∵△ADF∽△BDE，
∴∠ADF=∠BDE，

DF

DE

=

AD

BD

，即

DF

AD

=

DE

BD

而∠BDF+∠ADE=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，∠DEF=90°，
∴∠ADB=∠FDE，
∴△DEF∽△DBA，
∴∠DEF=∠B，
∴Rt△DEF∽Rt△ABC．