Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosA=bcosB．（1）试判断△ABC的形状；（2）若△ABC的面积

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosA=bcosB．（1）试判断△ABC的形状；（2）若△ABC的面积为 3 ，且 tanC+ 2csinA a =0 ，求a．

Answer 1

（1）由余弦定理得acosA=bcosB可知 a? b 2 + c 2 - a 2 2bc =b? a 2 + c 2 - b 2 2ac ， 所以a 2 （b 2 +c 2 -a 2 ）=b 2 （a 2 +c 2 -b 2 ）， 即（a 2 -b 2 ）c 2 =（a 2 -b 2 ）（a 2 +b 2 ），（3分） 所以（a 2 -b 2 ）（c 2 -a 2 -b 2 ）=0，所以a=b或c 2 =a 2 +b 2 ， 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．（6分） （2）由 tanC+ 2csinA a =0 及正弦定理可得 sinC cosC +2sinC=0 ， 而sinC＞0，所以 cosC=- 1 2 ，所以 C= 2π 3 ，（8分） 结合（1）可知△ABC必为等腰三角形，且 A=B= π 6 ， 故△ABC的面积 S= 1 2 absinC= 1 2 a 2 ? 3 2 = 3 ， 所以a=2．（12分）