Question

设函数f（x）在（-∞，+∞）内连续，且F（x）=∫x0（x-2t）f（t）dt，试证：（1）若f（x）为偶函数，则F

设函数f（x）在（-∞，+∞）内连续，且F（x）=∫x0（x-2t）f（t）dt，试证：（1）若f（x）为偶函数，则F（x）也是偶函数；（2）若f（x）为单调不增，则F（x）单调不减．

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

证明：
（1）
因为f（-x）=f（x），则有：
F(?x)＝

∫

?x 0

(?x?2t)f(t)dt，
令t=-u，于是：
F(?x)＝?

∫

x 0

(?x+2u)f(?u)du＝

∫

x 0

(x?2u)f(u)du=

∫

x 0

(x?2t)f(t)dt=F（x），证毕．

（2）
F′(x)＝[x

∫

x 0

f(t)dt?2

∫

x 0

tf(t)dt]
=

∫

x 0

f(t)dt+xf(x)?2xf(x)
=

∫

x 0

f(t)dt?xf(x)
=x[f（ξ）-f（x）]，其中ξ介于0与x之间，
由于f（x）单调不增，则：
①当x＞0时，f（ξ）-f（x）＞0，故F′（x）＞0；
②当x=0时，f（ξ）-f（x）=0，故F′（x）=0；
③当x＜0时，f（ξ）-f（x）＜0，故F′（x）＞0，
即：当x∈（-∞，+∞）时，F′（x）≥0，
所以：若f（x）单调不减，F（x）单调不增．