Question

已知数列{an}，Sn是其n前项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*）（1）求证：数列{an+12}为等比数列；（2）记Tn

已知数列{an}，Sn是其n前项的和，且满足3an=2Sn+n（n∈N*）（1）求证：数列{an+12}为等比数列；（2）记Tn=S1+S2+L+Sn，求Tn的表达式；（3）记Cn=23（an+12），求数列{nCn}的前n项和Pn．

Answer 1

（1）∵3a_n=2S_n+n，
∴a₁=1，
当n≥2时，3（a_n-a_n-1）=2a_n+1，即a_n=3a_n-1+1，
∴a_n+

1

2

=3a_n-1+1+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

），
∴数列{a_n+

1

2

}是首项为

3

2

，公比为3的为等比数列；
（2）由（1）知，a_n+

1

2

=

3

2

?3^n-1，
∴a_n=

1

2

×3ⁿ-

1

2

，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

2

?

3(1?3n)

1?3

-

n

2

=

3

4

?3ⁿ-

1

4

（2n+3），
∴T_n=S₁+S₂+…+S_n
=

3

4

（3+3²+…+3ⁿ）-

1

4

×

(5+2n+3)n

2

=

3

4

?

3(1?3n)

1?3

-

n(n+4)

4

=

9

8

（3ⁿ-1）-

n(n+4)

4

．
（3）∵C_n=

2

3

（a_n+

1

2

）=

2

3

×

1

2

×3ⁿ=3^n-1，
∴P_n=1×3⁰+2×3+3×3²+…+n?3^n-1，
∴3P_n=1×3+2×3²+…+（n-1）?3^n-1+n?3ⁿ，
两式相减得：
-2