Question

如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，两导轨间距离为L，导轨平面与水平面间的夹角θ，所

如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，两导轨间距离为L，导轨平面与水平面间的夹角θ，所处的匀强磁场垂直于导轨平面向上，质量为m的金属棒ab垂直于导轨放置，导轨和金属棒接触良好，不计导轨和金属棒ab的电阻，重力加速度为g．若在导轨的M、P两端连接阻值R的电阻，将金属棒ab由静止释放，则在下滑的过程中，金属棒ab沿导轨下滑的稳定速度为v，若在导轨 M、P两端将电阻R改接成电容为C的电容器，仍将金属棒ab由静止释放，金属棒ab下滑时间t，此过程中电容器没有被击穿，求：（1）匀强磁场的磁感应强度的大小为多少？（2）金属棒ab下滑ts末的速度？

Answer 1

（1）若在M、P间接电阻R时，金属棒先做变加速运动，当加速度为零时做匀速运动，达到稳定状态．
则感应电动势 E=BLv
感应电流 I=

E

R

棒所受的安培力 F=BIL
联立可得 F=

B2L2v

R

由平衡条件可得 F=mgsinθ
解得 B=

mgRsinθ L2v

（2）若在导轨 M、P两端将电阻R改接成电容为C的电容器，将金属棒ab由静止释放，产生感应电动势，电容器充电，电路中有充电电流，ab棒受到安培力．
设棒下滑的速度大小为v′，经历的时间为t．
则电容器板间电压为 U=E′=BLv
此时电容器的带电量为 Q=CU
设时间间隔△t时间内流经棒的电荷量为△Q
则电路中电流 i=

△Q

△t

=

C△U

△t

=

CBL△v

△t

又 a=

△v

△t

解得 a=CBLa
根据牛顿第二定律得 mgsinθ-BiL=ma
解得 a=

mgsinθ

m+B2L2C

=

gvsinθ

v+CgRsinθ

所以金属棒做初速度为0的匀加速直线运动，ts末的速度 v′=at=

gvsinθ

v+CgRsinθ

t
答：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小为

mgRsinθ L2v

．
（2）金属棒ab下滑ts末的速度为

gvsinθ

v+CgRsinθ

t．