设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f (x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(Ⅰ)求f(π)的值

设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(Ⅰ)求f(π)的值;(Ⅱ)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴围成图... 设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f (x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(Ⅰ)求f(π)的值;(Ⅱ)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴围成图形的面积. 展开
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禽虎uK
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知道答主
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(I)由f(x+2)=-f(x),
得f(x+4)=f[(x+2)+2]
=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,
从而得f(π)=f(-1×4+π)
=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(II)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),
得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x),
故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
又0≤x≤1时,f(x)=x,
且f(x)的图象关于原点成中心对称,
则f(x)的图象如图所示.

当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,
则S=4×(
1
2
×2×1
)=4.
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