如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm.在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm.点B,C,Q

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm.在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm.点B,C,Q,R在同一条直线l上,且C... 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm.在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm.点B,C,Q,R在同一条直线l上,且C,Q两点重合.如果等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向匀速运动,ts时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S 。(1)当t=4时,求S的值; (2)当4≤t≤10时,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值. 展开
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解:(1)当t=4时,
点B与点Q重合,点D与点P重合,重合部分为△BCD.
证明如下:如答案图(a)所示,
过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DE⊥BC于点E,
则AG∥DE且AG=DE.
所以四边形ACED为矩形,
从而AD=GE.
在梯形AB-CD中,
因为AB=AD=DC=2 cm,BC=4 cm,
所以CE=BC=1cm.
所以在Rt△CDE中,
cm.
在等腰△PQR中,过点P作PH⊥QR于点H
因为∠QPR=120°,QR=6cm,
所以∠PQR=30°.
在Rt△PQH中,
因为
所以PH=QHtan30°= cm.
所以DE=PH.
即点P在直线AD上.
因为EC+CH=1+3=4=DP,
所以当t=4时,
点D与点P重合,
如答案图(b)所示.
所以
(2)①当4≤t<6时,
如答案图(c)所示.
方法:因为QC=tcm,BC=4 cm,QR=6 cm,
所以QB=(t-4)cm,
CR=(6-t) cm.
设PQ与AB交于点M,PR与CD交于点N.
在△BQM中,因为∠BQM=30°,
又可求得∠ABC=60°,
所以∠BMQ=30°,
所以BM=QB=(t-4)(cm).
过点M作MS⊥BC于点S.
在Rt△BSM中,
MS=BM·sin60°= cm.
所以
同理可得,
所以
所以当t=5时,

②当6≤t≤10时,
如答案图(d)所示.
方法:因为QC=tcm,BC=4cm,QR=6 cm,
所以RC=(t-6)cm,
BR=(10-t)cm.
设PR与AB交于点F,
在△BFR中,因为∠FBR=60°,∠FRB= 30°,
所以△BFR为直角三角形.
所以 ,RF=
所以
因为6≤t≤10,
所以当t=6时,
综上可知,当t=5时,


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