Question

已知抛物线y 2 =4x及点P（2，2），直线l的斜率为1且不过点P，与抛物线交于点A，B，（1）求直线l在y轴上截

已知抛物线y 2 =4x及点P（2，2），直线l的斜率为1且不过点P，与抛物线交于点A，B，（1）求直线l在y轴上截距的取值范围；（2）若AP，BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD，BC交于定点．

Answer 1

（1）设直线l的方程为y=x+b（b≠0），由于直线不过点P，因此b≠0 由 y=x+b y 2 =4x 得x 2 +（2b-4）x+b 2 =0，由△＞0，解得b＜1 所以，直线l在y轴上截距的取值范围是（-∞，0）∪（0，1） （2）设A，B坐标分别为 ( m 2 4 ，m)，( n 2 4 ，n) ，因为AB斜率为1，所以m+n=4， 设D点坐标为 ( y D 2 4 ， y D ) ，因为B、P、D共线，所以k PB =k DP ，得 y D = 8-2n 2-n = 2m m-2 直线AD的方程为 y-m= y D -m y D 2 4 - m 2 4 (x- m 2 4 ) 当x=0时， y= my   D y D +m = 2 m 2 2m+ m 2 -2m =2 即直线AD与y轴的交点为（0，2），同理可得BC与y轴的交点也为（0，2）， 所以AD，BC交于定点（0，2）．