Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{a n }中，b 1 =1，点P（b n ，b n+1

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{a n }中，b 1 =1，点P（b n ，b n+1 ）在直线x-y+2=0上．（Ⅰ） 求数列{a n }，{b n }的通项公式a n 和b n ；（Ⅱ） 设c n =a n ?b n ，求数列{c n }的前n项和T n

Answer 1

（1）a n =2 n     b n =2n-1 （2）T n =（2n-3）2 n+1 +6

试题分析：（Ⅰ）先利用a n 是S n 与2的等差中项把1代入即可求a 1 ，利用S n =2a n -2，再写一式，两式作差即可求数列{a n }的通项；对于数列{b n }，直接利用点P（b n ，b n+1 ）在直线x-y+2=0上，得数列{b n }是等差数列即可求通项； （Ⅱ）先把所求结论代入求出数列{c n }的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和． 解：（Ⅰ）∵a n 是S n 与2的等差中项， ∴S n =2a n -2，①∴a 1 =S 1 =2a 1 -2，解得a 1 =2 n≥2时，S n-1 =2a n-1 -2，② ①-②可得：a n =2a n -2a n-1 ， ∴a n =2a n-1 （n≥2），即数列{a n }是等比数列 ∴a n =2 n ， ∵点P（b n ，b n+1 ）在直线x-y+2=0上， ∴b n -b n+1 +2=0， ∴b n+1 -b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1 =1， ∴b n =2n-1； （Ⅱ）∵c n =（2n-1）2 n ， ∴T n =a 1 b 1 +a 2 b 2 +a n b n =1×2+3×2 2 +5×2 3 +…+（2n-1）2 n ， ∴2T n =1×2 2 +3×2 3 +…+（2n-3）2 n +（2n-1）2 n+1 ， ∴-T n =1×2+（2×2 2 +2×2 3 +…+2×2 n ）-（2n-1）2 n+1 ， 即：-T n =1×2+（2 3 +2 4 +…+2 n+1 ）-（2n-1）2 n+1 ， ∴T n =（2n-3）2 n+1 +6． 点评：本题考查数列的通项，考查数列求和的错位相减法，考查计算能力，属于中档题