Question

如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN（1）如图2，在梯形ABCD中，B

如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=12∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=12∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．

Answer 1

（1）MN=AM+CN．
理由如下：
如图，∵BC∥AD，AB=BC=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD=180°，
把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°，
∴点M′、C、N三点共线，
∵∠MBN=

1

2

∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=

1

2

∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
∵

BM＝BM′ ∠MBN＝∠M′BN BN＝BN

，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，
∴MN=AM+CN；


（2）MN=CN-AM．
理由如下：如图，作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°，
又∵∠BAD+∠BAM=180°，
∴∠C=∠BAM，
在△ABM和△CBM′中，

∠CBM′＝∠ABM AB＝BC ∠C＝∠BAM

，
∴△ABM≌△CBM′（ASA），
∴AM=CM′，BM=BM′，
∵∠MBN=

1

2

∠ABC，
∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=

1

2

∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△MBN和△M′BN中，
∵

BM＝BM′ ∠MBN＝∠M′BN BN＝BN

，
∴△MBN≌△M′BN（SAS），
∴MN=M′N，

Answer 2

（
（1）MN=AM+CN．
理由如下：
如图，∵BC∥AD，AB=BC=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD=180°，
把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，
∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°，
∴点M′、C、N三点共线，
∵∠MBN=
1
2
∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=
1
2
∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
∵
BM＝BM′
∠MBN＝∠M′BN
BN＝BN
，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，
∴MN=AM+CN；
向左转|向右转

（2）MN=CN-AM．
理由如下：如图，作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°，
又∵∠BAD+∠BAM=180°，
∴∠C=∠BAM，
在△ABM和△CBM′中，
∠CBM′＝∠ABM
AB＝BC
∠C＝∠BAM
，
∴△ABM≌△CBM′（ASA），
∴AM=CM′，BM=BM′，
∵∠MBN=
1
2
∠ABC，
∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=
1
2
∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△MBN和△M′BN中，
∵
BM＝BM′
∠MBN＝∠M′BN
BN＝BN
，
∴△MBN≌△M′BN（SAS），
∴MN=M′N，