（2014?集美区一模）如图，边长为4的菱形ABCD的内角∠B=60°，O是对角线AC的中点．E、F、G、H 分别在菱形
（2014?集美区一模）如图，边长为4的菱形ABCD的内角∠B=60°，O是对角线AC的中点．E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，四边形EBOF与四边形HDOG关...
（2014?集美区一模）如图，边长为4的菱形ABCD的内角∠B=60°，O是对角线AC的中点．E、F、G、H 分别在菱形ABCD的四条边上，四边形EBOF与四边形HDOG关于直线AC对称，且∠EOF=60°．（1）当四边形EBFO与四边形HDGO关于点O成中心对称时，判断四边形EFGH是什么四边形，并给予证明；（2）设四边形EBFO的面积为S1，四边形FCGO的面积为S2．若m=2S1S2，求m的最大值．
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解：（1）四边形EFGH是矩形．∵四边形EBOF与四边形HDOG关于直线AC对称，
∴OE=OH，OF=OG．
∵四边形EBFO与四边形HDGO关于点O成中心对称，
∴E，O，G在同一直线上，且OE=OG，
F，O，H在同一直线上，且OF=OH，
∴OE=OH=OF=OG，
∴四边形EFGH对角线互相平分且相等．
∴四边形EFGH是矩形；
（2）要使m最大，则OE＞OF．
因为四边形EBFO的面积在E，F的移动过程变化会出现重复，当OE＞OF时四边形FCGO的面积，比OE＜OF时四边形FCGO的面积小．所以m的最大值会在OE＞OF时出现．
如图，若OE＞OF，取AB中点N，BC中点M，连结MN延长交OF延长线于K．
∵△ABC为等边三角形，
∴ON=OM=MN=AO=OC=
| 1 |
| 2 |
∴∠A=∠ONM=60°．
又∵∠AON=∠EOF=60°，
∴∠AON+∠EON=∠EOF+∠EON，
∴∠AOE=∠NOK，
∴在△AOE和△NOK中，
|
∴△AOE≌△NOK．
∴NK=AE，
设AE=NK=x，则MK=x-2，
∵MF∥NO，
∴
| MF |
| NO |
| MK |
| NK |
∴
| MF |
| 2 |
| x?2 |
| x |
∴MF=
| 2(x?2) |
| x |
∵S1=S△BEO+S△BFO，
S△BEO=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
S△BFO=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2(x?2) |
| x |
∴S1=
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