Question

如何判断向量组等价

如果1 2的秩相同 是不能判断它们等价的吧 还需要加强的什么条件吗

Answer 1

通过基本判定精细判断：

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。

需要重点强调的是：等价的向量组的秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是

R（A）=R（B）=R（A，B），

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

设有两个向量组

（Ⅰ）：α1，α2，……，αm；

（Ⅱ）：β1，β2，……，βm；

如果（Ⅰ）中每个向量都可以由向量组（Ⅱ）线性表示，则称（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示；如果（Ⅰ）与（Ⅱ）可以相互线性表示，则称（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，记为（Ⅰ）≌（Ⅱ）。

例如：若β1=α1+α2，β2=α1-2α2，β3=α1，则向量组（Ⅰ）={α1，α2}与向量组（Ⅱ）={β1，β2，β3}等价。事实上，给定的条件已表明（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，又容易得到α1=(2/3)β1+(1/3)β2+0β3，α2=(1/3)β1-(1/3)β2+0β3，这表明（Ⅰ）也可以由（Ⅱ）线性表示，由定义即知（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。

Answer 2

“矩阵等价”和“向量组等价”不是一个概念。

若两个同型矩阵秩相同，则这两个矩阵等价。反过来，若两矩阵等价，则秩相同。
向量组等价的定义则不同。若向量组A，B可互相线性表出，则两向量组等价，反之亦然。
二者容易混淆，且没有必然联系！如果两矩阵等价，它们的行（列）向量组不一定等价。
判断两向量组是否等价，则从定义着手。若向量组B可由向量组A线性表出，则R(B) = R(A,B) ；同理，若向量组A可由向量组B线性表出，则有R(A) = R(A,B)。
若R(A) = R(B) =R(A,B)，则两向量组可相互线性表出，即等价。

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示

Answer 4

简单的说：就是A可以由B表出，B也可以由A表出。

Answer 5

A组与B组等价
<=> R(A) = R(A,B) = R(B)