Question

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，4=∠6。 ∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6。 ∴∠1=∠2，∠3=∠4。∴EO=CO，FO=CO。 ∴OE=OF。 （2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°。 ∵CE=12，CF=5，∴ 。 ∴OC= EF=6.5。 （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形。理由如下： 当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形。 ∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形。

（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案。 （2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长。 （3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可。