Question

设抛物线C：y 2 =3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为

设抛物线C：y 2 =3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　） A．y 2 =4x或y 2 =8x B．y 2 =2x或y 2 =8x C．y 2 =4x或y 2 =16x D．y 2 =2x或y 2 =16x

Answer 1

∵抛物线C方程为y 2 =3px（p＞0） ∴焦点F坐标为（ 3p 4 ，0），可得|OF|= 3p 4 ∵以MF为直径的圆过点（0，2）， ∴设A（0，2），可得AF⊥AM Rt△AOF中，|AF|= 2 2 +( 3p 4 ) 2 = 4+ 9 p 2 16 ∴sin∠OAF= |OF| |AF| = 3p 4 4+ 9 p 2 16 ∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点， ∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF= |AF| |MF| = 3p 4 4+ 9 p 2 16 ， ∵|MF|=5，|AF|= 4+ 9 p 2 16 ∴ 4+ 9 p 2 16 5 = 3p 4 4+ 9 p 2 16 ，整理得4+ 9 p 2 16 = 15p 4 ，解之可得p= 4 3 或p= 16 3 因此，抛物线C的方程为y 2 =4x或y 2 =16x 故选：C