Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为°F函数．给

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为°F函数．给出下列函数：A.f(x)＝x2+1 B.f(x)＝2xx2+1 C.f(x)＝22(sinx+cosx) D．f（x）是定义在R上的奇函数，且对一切实数x1，x2均有|f（x1）-f（x2）|≤a|x1-x2|（a＞0）；其中是°F函数的序号______．

Answer 1

对于A，∵|

f(x)

x

|=

x2+1

|x|

=

|x|+ 1 |x|

≥

2

，∴|f(x)|≥

2

|x|，对照定义，可知不满足题意；
对于B，∵|

f(x)

x

|=

2

x2+1

 ≤2，∴存在正数m，都有 m≥|

f(x)

x

|成立，故B满足题意；
对于C，g(x)＝|

f(x)

x

|＝|

sin(x+ π 4 )

x

|，不难发现：因为x→0时，|

f(x)

x

|→∞，所以不存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，故C不满足题意；
对于D，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故f（0）=0，因而由对一切实数x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤a|x₁-x₂|（a＞0），当x₂=0时，得到|f（x₁）|≤a|x₁|成立，即|f（x）|≤a|x|成立，所以存在m≥a＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，符合题意．
故答案为：B，D．