Question

（2014?上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=23x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交

（2014?上海）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=23x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．

Answer 1

解答：解：（1）∵抛物线y=

2

3

x²+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-2），
∴

2 3 ?b+c＝0 c＝?2

，
解得

b＝? 4 3 c＝?2

．
故抛物线的表达式为：y=

2

3

x²-

4

3

x-2=

2

3

（x-1）²-

8

3

，对称轴为直线x=1；

（2）设直线CE的解析式为：y=kx+b，
将E（1，0），C（0，-2）坐标代入得：

k+b＝0 b＝?2

，解得

k＝2 b＝?2

，
∴直线CE的解析式为：y=2x-2．
∵AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，
∴CE∥AF．
∴设直线AF的解析式为：y=2x+n．
∵点A（-1，0）在直线AF上，
∴-2+n=0，∴n=2．
∴设直线AF的解析式为：y=2x+2．
当x=1时，y=4，
∴点F的坐标为（1，4）．

（3）点B（3，0），点D（1，-

8

3

），
若△BDP和△CDP的面积相等，
则DP∥BC，
则直线BC的解析式为y=

2

3

x-2，
∴直线DP的解析式为y=

2

3

x-

10

3

，
当y=0时，x=5，
∴t=5．