Question

级数∞n＝1nxn?1的和函数为______

级数∞n＝1nxn?1的和函数为______．

Answer 1

由

lim

n→∞

|

(n+1)xn

nxn?1

|=|x|＜1可得，
级数的收敛半径为1．
利用幂级数的求导公式可得，

∞

n＝1

nxn?1=

∞

n＝1

(xn)′=(

∞

n＝1

xn)′=(

x

1?x

)′=(

1

1?x

?1)′=

1

(1?x)2

，-1＜x＜1．
故答案为：

1

(1?x)2

（-1＜x＜1）．

Answer 2

由 limn→∞|(n+1)xnnxn?1|=|x|＜1可得，
级数的收敛半径为1．
利用幂级数的求导公式可得，
∞n＝1nxn?1= ∞n＝1(xn)′=(∞n＝1xn)′=(x1?x)′=(11?x?1)′= 1(1?x)2，-1＜x＜1．
故答案为： 1(1?x)2（-1＜x＜1）．

Answer 3

因为an＝
n2+1
n
，而
lim
n→∞
an+1
an
＝x，且x=±1时，级数均发散，所以级数的以收敛域为（-1，1），

求解和函数：
∞
n＝1
n2+1
n
xn＝
∞
n＝1
nxn+
∞
n＝1
1
n
xn＝x(
∫
x
0
∞
n＝1
nxn?1dx)′+
∫
x
0
(
∞
n＝1
1
n
xn)′dx
=x(
1
1?x
)′+
∫
x
0
1
1?x
dx=
x
(1?x)2
?ln(1?x)，x∈（-1，1）
再看看别人怎么说的。