Question

一直线过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．（1）求证：∠ACB

一直线过抛物线y 2 =2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A，B两点，C为抛物线准线的一点．（1）求证：∠ACB不可能是钝角；（2）是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：设 ， 直线AB方程为 由 ，得：y 2 ﹣2pty﹣p 2 =0， 则 ∴ ． ， ∴ ∴ 不可能为钝角， 故∠ACB不可能是钝角 （2）假设存在点C，使得△ABC为正三角形 由（1）得：线段AB的中点为 ①若直线AB的斜率不存在，这时t=0， ， 点C的坐标只可能是 ， 由 ，得： ，矛盾， 于是直线AB的斜率必存在． ②由CM⊥AB，得：k CM k AB =﹣1， 即 ， ∴m=pt 3 +2pt， ∴ ，|AB|=2p（t 2 +1）， 由 ，得： ， ∴ 故存在点 ，使得△ABC为正三角形．