Question

（2013?浙江模拟）如图，椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴

（2013?浙江模拟）如图，椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且|CD||ST|＝22．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足OA+OB＝tOP（O为坐标原点），当|PA?PB|＜253时，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F₂（1，0）．
所以椭圆E的方程为：

x2

b2+1

+

y2

b2

＝1．
解方程组

y2＝4x x＝1

得C（1，2），D（1，-2）．
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴

|F2C|

|F2S|

＝

|CD|

|ST|

＝2

2

，|F2S|＝

2

2

，∴S(1，

2

2

)．
因此，

1

b2+1

+

1

2b2

＝1，解得b²=1并推得a²=2．
故椭圆的方程为

x2

2

+y2＝1．
（Ⅱ）由题意知直AB的斜率存在．
AB：y=k（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
代入椭圆方程，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k²＜

1

2

∴x₁x₂=

8k2?2

1+2k2

，x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，
∵|

PA

?

PB

|＜

2 5

3

，
∴

1+k2

|x 1?x 2|＜

2 5

3

，
∴（1+k²）[

(8k2) 2

(1+2k2) 2

-4×

8k2?2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，
∴k²＞

1

4

，
∴

1

4

＜k²＜

1

2

，
∵满足

OA

+

OB

＝t

OP

，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=

x1+x2

t

＝

8k 2

t(1+2k 2)

，y=

y1+y2

t

＝

?4k

t(1+2k 2)

，
∵点P