Question

（2014?贵港）如图，抛物线y=ax2+bx-3a（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接

（2014?贵港）如图，抛物线y=ax2+bx-3a（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx-3a（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），
∴

a?b?3a＝0 ?3a＝2

，
解得

a＝? 2 3 b＝ 4 3

．
∴抛物线的解析式为y=-

2

3

x²+

4

3

x+2=-

2

3

（x-1）²+2

2

3

，
∴对称轴是x=1，
∵1+（1+1）=3，
∴B点坐标为（3，0），
∴BC的中点坐标为（1.5，1）；

（2）∵线段BC先向左平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，使点C的对应点C₁恰好落在该抛物线上，
∴点C₁的横坐标为-2，
当x=-2时，y=-

2

3

×（-2）²+

4

3

×（-2）+2=-

10

3

，
∴点C₁的坐标为（-2，-

10

3

），
m=2-（-

10

3

）=5

1

3

；

（3）①若BC为平行四边形的一边，
∵BC的横坐标的差为3，
∵点Q的横坐标为1，
∴P的横坐标为4或-2，
∵P在抛物线上，
∴P的纵坐标为-3

1

3

，
∴P₁（4，-3

1

3

），P₂（-2，-3