Question

如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A

如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．（图（2）、图（3）供画图探究）

Answer 1

（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴

3＝c 0＝9+3b+c

，
解得

b＝?4 c＝3

，
∴抛物线解析式为y=x²-4x+3；

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为P（2，-1），
∴满足条件的点M分别为M₁（2，7），M₂（2，2

5

-1），M₃（2，

3

2

），M₄（2，-2

5

-1）；

（3）由（1），得A（1，0），
连接BP，
∵∠CBA=∠ABP=45°，
∴当

BQ

BP

=

BC

BA

时，△ABC∽△PBQ，
∴BQ=3．
∴Q₁（0，0），
∴当

BQ

BP

=

BA

BC

时，△ABC∽△QBP，
∴BQ=

2

3

．
∴Q′（

7

3

，0）．