Question

如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O1O2 的延长线相交于点C，延长AP

如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O1O2 的延长线相交于点C，延长AP交⊙O2于点D，点E在AD延长线上．（1）求证：△ABP是直角三角形；（2）若AB?AC=AP?AE，试判断AC与EC能否一定垂直？并说明理由．（3）在（2）的条件下，若AP=4，PD=94，求ECAC的值．

Answer 1

（1）证明：过点P作两圆公切线PN交AB于N，
由切线长定理得：
NP=NA=NB，∴△PAB为直角三角形． …（3分）
（2）解：AC⊥EC．
理由如下：
∵AB?AC=AP?AE，
∴

AB

AP

=

AE

AC

，又∠PAB=∠EAC，
∴△PAB∽△CAE，
∴∠ECA=∠APB=90°，
即AC⊥EC．…（6分）
（3）解：由切割线定理，AB²=AP?AD，
∴AB=5，PB=3，PB：PA=3：4=EC：AC，
∴

EC

AC

＝

3

4

．…（9分）