已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x2=4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，PF=3FM，（Ⅰ）若|PF|=3，求
已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x2=4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，PF=3FM，（Ⅰ）若|PF|=3，求点M的坐标；（Ⅱ）求△ABP面积的最大值．...
已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x2=4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，PF=3FM，（Ⅰ）若|PF|=3，求点M的坐标；（Ⅱ）求△ABP面积的最大值．
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（Ⅰ）由题意知焦点F（0，1），准线方程为y=-1，
设P（x0，y0），由抛物线的定义可知|PF|=y0+1，解得y0=2，
∴x0=±2
，即P（2
，2）或P（-2
，2），
由
=3
，得M（-
，
）或M（
，
）．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得x2-4kx-4m=0，
于是△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m，
即AB的中点M的坐标为（2k，2k2+m）
由
=3
，得（-x0，1-y0）=3（2k，2k2+m-1），
解得
，由
＝4y0，得k2=-
m+
，
由△＞0，k＞0得?
＜m≤
，
又∵|AB|=4
?
，
点F到直线AB的距离d=
，
∴S△ABP=4S△ABF=8|m-1|?
＝
设P（x0，y0），由抛物线的定义可知|PF|=y0+1，解得y0=2，
∴x0=±2
| 2 |
| 2 |
| 2 |
由
| PF |
| FM |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
|
于是△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m，
即AB的中点M的坐标为（2k，2k2+m）
由
| PF |
| FM |
解得
|
| x | 2 0 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 15 |
由△＞0，k＞0得?
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
又∵|AB|=4
| 1+k2 |
| k2+m |
点F到直线AB的距离d=
| |m?1| | ||
|
∴S△ABP=4S△ABF=8|m-1|?
| k2+m |
| 16 | ||
|
