Question

已知x1、x2是方程x^2-2kx+k^2-k=0的两个实数根，是否存在实数k使x1/x2+x2/x1=3/2成立???若存在，求出k的值

Answer 1

x1+x2=2k
x1x2=k^2-k

x1/x2+x2/x1=3/2
(x1^+x2^2)/x1x2=3/2
[(x1+x2)^2-2x1x2]/x1x2=3/2

(2k)^2/(k^2-k)-2=3/2
4k^2/(k^2-k)=3.5
4k^2=3.5k^2-3.5k
0.5k^2+3.5k=0
k(k+7)=0
k=0或-7

所以存在K值。

Answer 2

因为方程有两根，所以有4k^2-4(k^2-k)=4k>=0所以有k>=0
由韦达定理，可以得到x1+x2=2k,x1x2=k^2-k
于是有x1/x2+x2/x1=（x1^2+x2^2)/(x1x2)=[(x1+x2)^2-2x1x2]/(x1x2)=(2k^2+2k)/(k^2-k)于是有k不等于0且不等于1，又x1/x2+x2/x1=3/2所以有（2k^2+2k)/(k^2-k)=3/2，于是可以得到k=-7,但是由判别式求得k>=0，所以不存在这样的k，使得x1/x2+x2/x1=3/2成立！