Question

（2013?河池模拟）在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB

（2013?河池模拟）在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，取PA的中点E，连接ME，DE，∵M为PB的中点，
∴EM∥AB，且EM=

1

2

AB．
又∵AB∥DC，且DC=

1

2

AB，
∴EM∥DC，且EM=DC
∴四边形DCME为平行四边形，∴MC∥DE，
又MC?平面PAD，DE?平面PAD
所以MC∥平面PAD 
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又AC²+BC²=2+2=AB²，∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅲ）解：取PC中点N，则MN∥BC
由（Ⅱ）知BC⊥平面PAC，则MN⊥平面PAC
所以∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，
∵NC=

1

2

PC=

3

2

，MC=

1

2

PB=

5

2

，
∴cos∠MCN=

NC

MC

=

15

5

．