Question

如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 是弦， OD ⊥ AC 于点 D ，过点 A 作⊙ O 的切线 AP ， AP 与 OD 的延长线

如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 是弦， OD ⊥ AC 于点 D ，过点 A 作⊙ O 的切线 AP ， AP 与 OD 的延长线交于点 P ，连接 PC 、 BC ．(1)猜想：线段 OD 与 BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论．(2)求证： PC 是⊙ O 的切线．

Answer 1

解(1)猜想： OD ∥ BC ， CD ＝ BC ． 证明：∵ OD ⊥ AC ， ∴ AD ＝ DC ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴ OA ＝ OB , ∴ OD 是△ ABC 的中位线， ∴ OD ∥ BC ， OD ＝ BC (2)证明：连接 OC ，设 OP 与⊙ O 交于点 E ． ∵ OD ⊥ AC ， OD 经过圆心 O ， ∴ ，即∠ AOE ＝∠ COE 在△ OAP 和△ OCP 中， ∵ OA ＝ OC ， OP ＝ OP ， ∴△ OAP ≌△ OCP ， ∴∠ OCP ＝∠ OAP ∵ PA 是⊙ O 的切线， ∴∠ OAP ＝90°． ∴∠ OCP ＝90°，即 OC ⊥ PC ∴ PC 是⊙ O 的切线．